罗特曼透镜设计器（RLD）软件是设计微带和条纹罗特曼透镜的一级工具。该工具的计算以几何光学为基础，结合了罗特曼[1]等人开发的透镜设计方程[REF]。RLD 软件可根据一组设计参数快速生成调整透镜设计，但并不考虑所有可能影响性能的因素。其中一个因素就是透镜侧壁的曲率。RLD 假定侧壁的设计可以吸收大部分撞击能量，不会产生可能影响性能的明显反射。侧壁曲率是 RLD 软件内部的一个无单位值，为用户开发实际透镜的出口和制造提供了额外的自由度。在现实中，侧壁反射会产生一些影响，本示例将记录其中一些影响，并为读者提供一些见解，以帮助选择该参数的合理值。
我们为示例选择了一套通用的透镜设计参数，并在所有模拟情况下保持不变。透镜的中心频率为 9.6 千兆赫，带宽为 1.6 千兆赫。扫描角度为 40 度，输出元件间距为 0.46431 波长（输出阵列元件之间的间隔距离）。透镜是在介电常数为 3、厚度为 0.508 毫米的电介质上以微带形式构建的。光束和阵列端口的数量将设定为三个不同的值，以衡量不同透镜的影响。在第一种情况下，透镜有 8 个波束端口和 8 个阵列端口。之后的测试使用 16x16 和 32x32 镜头。透镜的宽度从 8x8 透镜的 4.6 波长到 32x32 透镜的 20.2 波长不等。在所有情况下，透镜都在 RLD 软件中进行了性能调整，除侧壁曲率外，所有参数的设置都保持不变。
顶部和底部是连接在侧壁上的假端口，用于吸收撞击到它们的任何场。光束端口从下往上依次编号为 1 至 8。当底部端口（光束 1）处于激活状态时，它将产生以正最大扫描角度为中心的光束。靠近中心的光束，例如光束 4，将产生更接近阵列宽边的光束。顶部端口（光束 8）将产生负最大扫描角度的光束。图 2 显示了图 1 中透镜产生的 8 个光束，光束 1 位于最右侧，光束 8 位于最左侧。由于采用了近似值，这些光束的形状并不随 RLD 软件中侧壁曲率值的变化而变化。
图 1：所示为 RLD 软件生成的基本微带透镜。左边是光束（输入）端口，右边是阵列（输出端口）。图中标明了端口编号。顶部和底部的蓝色端口是侧壁上的虚拟端口。本示例将在固定其他透镜参数的情况下改变侧壁的曲率。
图 2：这是图 1 中透镜产生的 8 条光束在 RLD 软件中的显示图。光束的最大扫描角度为 +/- 40 度，由输入端的 1 号和 8 号端口产生。
本示例将改变侧壁曲率，从相当平坦的 0.25 值（如图 3 所示）到高度弯曲的 2.5 值（如图 4 所示），并将 RLD 生成的结果与全波求解器 XFdtd 生成的结果进行比较。其中一个透镜的 FDTD 网格示例如图 5 所示，插图显示了透镜的俯视图，主图显示了一些阵列传输线的细节。调查的目的是为 RLD 用户选择侧壁曲率提供良好的指导，并指出更全面模拟的重要性。我们还将继续对具有 16 和 32 个光束/阵列端口的更大透镜进行研究，以了解端口数量对所发现趋势的影响。
图 3：图中是一个 8x8 的透镜，侧壁曲率为 0.25，这是本研究中使用的最小曲率。
图 4：图中是一个 8x8 的透镜，侧壁曲率为 2.5，这是本研究中使用的最大曲率。
图 5：这是将罗特曼透镜导入全波求解器 XFdtd 后的示例。右侧插图显示了透镜的俯视图，与 RLD 软件中显示的透镜类似。左图显示了 FDTD 网格的细节和底层基板的有限厚度。该结构使用了XACT 保形网格功能，包括图中所示的传输线。
8x8 透镜配置如图 1 所示，侧壁从 0.25（图 3）到 2.50（图 4）不等，每种情况之间以 0.25 为步长。对于 8x8 透镜，模拟了两个不同的光束端口（1 和 4），以测试设计的极端情况。图 6、图 7 和图 8 显示了光束 1 活动时，XFdtd 和 RLD 在曲率为 0.25、1.25 和 2.5 时的比较结果。在图 6 中，XFdtd 产生的主波束更窄，并且偏离了所需方向。侧裂片也更高。在图 7 中，曲率为 1.25 的透镜显示出两种方法之间较好的一致性，主光束较好，侧裂片普遍较低。如图 8 所示，当曲率为 2.5 时，两种方法的主光束仍然吻合，但侧裂纹比 1.25 时更高。图 9 显示了在 XFdtd 中运行的所有情况，可以看出主波束有相当大的变化。与理想 RLD 结果相关性最好的情况是侧壁曲率为 2.00。
图 6：所示为侧壁曲率为 0.25 的 8x8 镜头的光束 1 比较。RLD 和 XFdtd 之间的一致性微乎其微，XFdtd 的主光束有偏移，侧叶水平较高。这在一定程度上表明，根据侧壁曲率得出的结果存在一定差异。
图 7：侧壁曲率为 1.25 的 8x8 镜头的光束 1 比较。这里的一致性更好，主光束相匹配，侧叶大大减少。
图 8：侧壁曲率为 2.50 的 8x8 镜头的光束 1 比较。在这里，主光束的匹配度很高，虽然XFdtd产生的边叶更高，但边叶的匹配度基本一致。
图 9：图中显示的是 XFdtd 对 8x8 镜头光束 1 生成的所有结果的比较。侧壁曲率从 0.25 到 2.5，步长为 0.25。随着侧壁的变化，主光束的位置和形状也会发生变化。侧裂片也会发生变化，某些情况下会返回相当高的数值。
对于端口 4 接近中心的横梁，结果略有不同。图 10、图 11 和图 12 显示了曲率分别为 0.25、1.25 和 2.50 的三种情况。图 10、图 11 和图 12 显示了曲率分别为 0.25、1.25 和 2.50 的三种情况，其中前两种情况下的侧摆度较高，图 12 显示曲率为 2.50 的情况下的侧摆度相当吻合。图 13 显示了所有端口 4 有效情况下的光束模式，主光束通常总是很好地形成，但侧裂片会出现一些变化。曲率大于 1.00 的配置均与 RLD 值高度相关。这是意料之中的，因为中心端口将大部分能量导向阵列，而偏置端口则将更多能量导向侧壁。
图 10：侧壁曲率为 0.25 的 8x8 镜头的光束 4 比较
图 11：侧壁曲率为 1.25 的 8x8 镜头的光束 4 比较
图 12：侧壁曲率为 2.50 的 8x8 镜头的光束 4 比较
图 13：8x8 镜头光束 4 的所有 XFdtd 结果汇总。主光束的位置和形状基本一致，侧叶水平略有不同
图 14 显示了两根横梁所有情况下的峰值侧叶水平。一般来说，无论侧壁曲率如何，横梁 4 的侧叶水平都较低，而横梁 1 的侧叶水平受侧壁变化的影响较大。在图 15 中，主梁位置的变化被绘制为 XFdtd 位置与理想 RLD 位置的差异。同样，中心波束 4 受侧壁形状的影响较小，结果相当不错，而波束 1 则随曲率变化而变化。
图 14：XFdtd 模拟的峰值侧叶水平与 RLD 软件生成的理想值的对比图。XFdtd 的结果随侧壁曲率的变化而变化，在曲率值为 2.00 时侧叶最小。
图 15：XFdtd 和 RLD 之间主梁位置偏移与侧壁曲率的函数关系图。在侧壁曲率较低时，误差要大得多，随着曲率的增加，误差趋于零。
图 16 所示的16x16 镜头重复了对8x8 镜头进行的模拟。在这种情况下，对来自端口 1、4 和 8 的光束进行比较，它们应分别产生 40 度、24 度和 3 度的光束。由于该透镜较大，侧面有更多的空间用于曲率，因此需要增加更多的虚端口。这使得边缘的过渡比 8x8 的情况更平滑。
图 16：所示为软件模拟的 16x16 端口罗特曼微带透镜
图 17 显示了侧壁曲率为 0.25 时光束 1 的光束图案。从图中可以明显看出，XFdtd 和 RLD 之间的光束位置存在偏移，这比 8x8 情况下的偏移更为明显。在图 18 和 19 中，当侧壁曲率增加到 1.25 和 2.5 时，波束位置的变化有所减小，但代价是侧叶增加。图 20 显示了不同侧壁曲率下的所有 XFdtd 结果。从图中可以看出，侧壁曲率值越高，主波束的偏移越明显。虽然不同情况下的侧叶水平各不相同，但都保持在 10 dB 以下。
图 17：XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 0.25 时的光束 1 图案对比。
图 18：图示为 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 1.25 时的光束 1 图案对比。
图 19：XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 2.5 时的光束 1 图案对比。
图 20：所示为 XFdtd 在不同侧壁值下为光束 1 生成的所有图案
对于应在 24 度左右出现的横梁 4，结果显示侧壁曲率的变化较小。在图 21 中，低曲率侧壁出现了一些明显的侧叶，但在图 22 和 23 中显示的 1.25 和 2.5 情况下，侧叶水平较低，与理想 RLD 情况基本吻合。图 24 显示了所有侧壁情况的汇总，主梁位置与侧壁曲率的变化同样很小。
图 21：XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 0.25 时的光束 4 图案对比。
图 22：图示为 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 1.25 时的光束 4 图案对比。
图 23：XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 2.5 时的光束 4 图案对比。
图 24：所示为 XFdtd 软件为横梁 4 生成的所有图案与侧壁曲率的函数关系
对于图 25、26 和 27 所示的所有侧壁曲率情况，XFdtd 都能很好地再现来自端口 8 的近中心波束。在曲率为 0.25 的情况下，会产生一些较高的侧叶，而在其他情况下则不会出现。在图 28 中对所有情况进行比较时，主梁位置与高角度侧叶存在一些差异，但两者的一致性很好。图 29 汇总了最大边波电平，同样总是低于峰值 10 dB。图 30 所示的主波束偏移在波束 1 中更为明显，而波束 4 和波束 8 的偏移则随曲率变化很小。
图 25：图中显示了 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 0.25 时的光束 8 图案对比。
图 26：图中显示的是 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 1.25 时的光束 8 图样对比。
图 27：图中显示了 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 2.5 时的光束 8 图案对比。
图 28：图中显示的是 XFdtd 软件为横梁 8 生成的所有图案与侧壁曲率的函数关系
图 29：XFdtd 模拟的峰值侧叶电平与 RLD 软件生成的理想值的对比图。与 8x8 镜头情况相比，变化较小
图 30：XFdtd 和 RLD 之间的主光束位置偏移与 16x16 镜头侧壁曲率的函数关系图。在侧壁曲率较低时，误差略大，主要是光束 1 的误差，曲率越大，误差越小。
最后，我们对 32x32 的透镜进行了相同的测试。透镜的几何形状如图 31 所示，由于尺寸更大，假端口数量更多（所有情况下都保持恒定宽度），因此侧壁曲率的清晰度更高。在这组模拟中，将对光束 1、4、8、12 和 16 进行比较，它们产生的光束理想角度分别为 40、32、22、11.5 和 1 度。
图 31：所示为软件模拟的 32x32 端口罗特曼微带透镜
图 32、33 和 34 显示了侧壁曲率为 0.25、1.25 和 2.5 时端口 1 的最大扫描光束。主波束位置有明显的偏移，曲率越大，偏移越小；但始终无法与理想情况完全吻合。边波电平保持在 -10 dB 以下，但靠近主波束的边波电平相当高。在图 35 所示的所有情况汇总中，可以明显看出主波束位置有轻微偏移，但不同情况下的边叶相当一致。
图 32：图中显示的是 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 0.25 时的光束 1 图案对比。
图 33：图中显示的是 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 1.25 时的光束 1 图案对比。
图 34：所示为 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 2.5 时的光束 1 图样对比。
图 35：图中显示了 XFdtd 在不同侧壁值下为光束 1 生成的所有图案
图 36、37 和 38 显示了光束 4。与理想情况相比，光束位置再次出现轻微偏移，但 XFdtd 结果之间的差异很小。这一点在图 39 中得到了验证，图 39 显示了所有情况，产生的波束似乎是一致的。不同情况下的侧叶水平也相当一致，只有曲率较低的墙壁有一些偏离值。
图 36：图中显示的是 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 0.25 时的光束 4 图样对比。
图 37：图中显示的是 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 1.25 时的光束 4 图样对比。
图 38：图中显示的是 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 2.5 时的光束 4 图案对比。
图 39：所示为 XFdtd 在不同侧壁值下为横梁 4 生成的所有图案
图 40、图 41、图 42 和图 43 所示的横梁 8 也有类似情况。主梁位置仍有轻微偏移，但总体而言，在 XFdtd 中运行的各种情况产生的结果相似。相比之下，随着侧壁曲率的增加，横梁 12 的性能有了明显改善。主梁位置保持一致，但图 44 和图 45 中可见的较高侧边在图 46 中大大减小。在图 47 中，许多情况下，主梁区域和 +/-25 度范围内的表现一致，但超出该范围后，产生的侧叶变化很大。同样，侧叶仍然低于峰值 10 dB。
图 40：图中显示的是 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 0.25 时的光束 8 图案对比。
图 41：图 41：XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 1.25 时的光束 8 图案对比。
图 42：图 42：XFdtd 和 RLD 对侧壁曲率为 2.5 的光束 8 图案进行比较。
图 43：所示为 XFdtd 在不同侧壁值下为横梁 8 生成的所有图案
图 44：图 44：XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 0.25 时的光束 12 图案对比。
图 45：所示为 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 1.25 时的光束 12 图样对比。
图 46：图中显示了 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 2.5 时的光束 12 图样对比。
图 47：图中显示的是 XFdtd 在不同侧壁值下为横梁 12 生成的所有图案
光束 16 的最终情况与光束 12 相似，低曲率壁（图 48 和 49）有一些较大的侧叶，而图 50 的高曲率壁与理想情况的一致性更好。图 51 所示的所有情况也与光束 12 相似，光束图案的中心区域是一致的，可变性出现在远扫描角度。
图 48：图 48：XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 0.25 时的光束 16 图案对比
图 49：图 49：XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 1.25 时的光束 16 图案对比。
图 50：图示为 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 2.5 时的光束 16 图案对比。
图 51：所示为 XFdtd 在不同侧壁值下为光束 12 生成的所有图案
图 52 显示了所有模拟光束的峰值侧叶水平。与之前的透镜一样，扫描角度越大的光束产生的侧叶也越大。虽然侧叶峰值随侧壁曲率的变化不大，但每个光束的侧叶峰值都相当一致。最后，从图 53 中可以看出，主光束偏离理想 RLD 的情况与侧壁曲率的关系不大。每个横梁的结果都有一个固定误差，似乎与侧壁无关。我们将在其他示例中对此进行进一步研究。
图 52：图中显示的是 XFdtd 为每种情况生成的峰值侧叶电平。为清晰起见，省略了 RLD 值。峰值水平随侧壁曲率的变化很小，表明侧壁对这种较大透镜的影响较小。
图 53：XFdtd 生成的光束偏移量与 RLD 光束偏移量的对比图。在每种情况下，似乎都有一个固定的偏移量，不受侧壁曲率的影响
结论
在这个例子中，我们模拟了几个具有不同侧壁曲率的罗特曼透镜，以衡量曲率对全波求解器生成的光束图案结果的影响，并与 RLD 软件生成的理想光束进行比较。对于较小的透镜，结果显然会有一些变化，这与侧壁曲率密切相关。随着透镜变大，光束与侧壁的关系变得相当独立。当然，每种情况下产生的侧叶都有差异；一般来说，侧叶的水平总是相对较低。当然，在侧叶水平必须较低的情况下，可以选择适当的透镜设计。
该示例侧重于透镜产生的光束图案与侧壁曲率的函数关系，并未考虑设计或输出中的其他影响。结果发现，对于较小的透镜来说，2 左右的曲率是最好的，而对于较大的透镜来说，任何侧壁值都有类似的表现。
参考资料
Rotman, W. and R. Turner, "Wide-Angle Microwave Lens for Line Source Applications,"IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 11, no. 6, pp.
Hansen, R. C., "Design Trades for Rotman Lenses,"IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 39, no.4, pp.