罗特曼透镜设计器（RLD）软件是设计微带和条纹罗特曼透镜的一级工具。该工具的计算以几何光学为基础，结合了罗特曼[1]等人开发的透镜设计方程[REF]。RLD 软件可根据一组设计参数快速生成调整透镜设计，但并不考虑所有可能影响性能的因素。其中一个因素就是透镜侧壁的曲率。RLD 假定侧壁的设计可以吸收大部分撞击能量，不会产生可能影响性能的明显反射。侧壁曲率是 RLD 软件内部的一个无单位值，为用户开发实际透镜的出口和制造提供了额外的自由度。在现实中，侧壁反射会产生一些影响，本示例将记录其中一些影响，并为读者提供一些见解，以帮助选择该参数的合理值。
我们为示例选择了一套通用的透镜设计参数，并在所有模拟情况下保持不变。透镜的中心频率为 9.6 千兆赫，带宽为 1.6 千兆赫。扫描角度为 40 度，输出元件间距为 0.46431 波长（输出阵列元件之间的间隔距离）。透镜是在介电常数为 3、厚度为 0.508 毫米的电介质上以微带形式构建的。光束和阵列端口的数量将设定为三个不同的值，以衡量不同透镜的影响。在第一种情况下，透镜有 8 个波束端口和 8 个阵列端口。之后的测试使用 16x16 和 32x32 镜头。透镜的宽度从 8x8 透镜的 4.6 波长到 32x32 透镜的 20.2 波长不等。在所有情况下，透镜都在 RLD 软件中进行了性能调整，除侧壁曲率外，所有参数的设置都保持不变。
顶部和底部是连接在侧壁上的假端口，用于吸收撞击到它们的任何场。光束端口从下往上依次编号为 1 至 8。当底部端口（光束 1）处于激活状态时，它将产生以正最大扫描角度为中心的光束。靠近中心的光束，例如光束 4，将产生更接近阵列宽边的光束。顶部端口（光束 8）将产生负最大扫描角度的光束。图 2 显示了图 1 中透镜产生的 8 个光束，光束 1 位于最右侧，光束 8 位于最左侧。由于采用了近似值，这些光束的形状并不随 RLD 软件中侧壁曲率值的变化而变化。
图 1：所示为 RLD 软件生成的基本微带透镜。左边是光束（输入）端口，右边是阵列（输出端口）。图中标明了端口编号。顶部和底部的蓝色端口是侧壁上的虚拟端口。本示例将在固定其他透镜参数的情况下改变侧壁的曲率。
图 2：这是图 1 中透镜产生的 8 条光束在 RLD 软件中的显示图。光束的最大扫描角度为 +/- 40 度，由输入端的 1 号和 8 号端口产生。
本示例将改变侧壁曲率，从相当平坦的 0.25 值（如图 3 所示）到高度弯曲的 2.5 值（如图 4 所示），并将 RLD 生成的结果与全波求解器 XFdtd 生成的结果进行比较。其中一个透镜的 FDTD 网格示例如图 5 所示，插图显示了透镜的俯视图，主图显示了一些阵列传输线的细节。调查的目的是为 RLD 用户选择侧壁曲率提供良好的指导，并指出更全面模拟的重要性。我们还将继续对具有 16 和 32 个光束/阵列端口的更大透镜进行研究，以了解端口数量对所发现趋势的影响。
图 3：图中是一个 8x8 的透镜，侧壁曲率为 0.25，这是本研究中使用的最小曲率。
图 4：图中是一个 8x8 的透镜，侧壁曲率为 2.5，这是本研究中使用的最大曲率。
图 5：这是将罗特曼透镜导入全波求解器 XFdtd 后的示例。右侧插图显示了透镜的俯视图，与 RLD 软件中显示的透镜类似。左图显示了 FDTD 网格的细节和底层基板的有限厚度。该结构使用了XACT 保形网格功能，包括图中所示的传输线。
8x8 透镜配置如图 1 所示，侧壁从 0.25（图 3）到 2.50（图 4）不等，每种情况之间以 0.25 为步长。对于 8x8 透镜，模拟了两个不同的光束端口（1 和 4），以测试设计的极端情况。图 6、图 7 和图 8 显示了光束 1 活动时，XFdtd 和 RLD 在曲率为 0.25、1.25 和 2.5 时的比较结果。在图 6 中，XFdtd 产生的主波束更窄，并且偏离了所需方向。侧裂片也更高。在图 7 中，曲率为 1.25 的透镜显示出两种方法之间较好的一致性，主光束较好，侧裂片普遍较低。如图 8 所示，当曲率为 2.5 时，两种方法的主光束仍然吻合，但侧裂纹比 1.25 时更高。图 9 显示了在 XFdtd 中运行的所有情况，可以看出主波束有相当大的变化。与理想 RLD 结果相关性最好的情况是侧壁曲率为 2.00。
图 6：所示为侧壁曲率为 0.25 的 8x8 镜头的光束 1 比较。RLD 和 XFdtd 之间的一致性微乎其微，XFdtd 的主光束有偏移，侧叶水平较高。这在一定程度上表明，根据侧壁曲率得出的结果存在一定差异。
图 7：侧壁曲率为 1.25 的 8x8 镜头的光束 1 比较。这里的一致性更好，主光束相匹配，侧叶大大减少。
图 8：侧壁曲率为 2.50 的 8x8 镜头的光束 1 比较。在这里，主光束的匹配度很高，虽然XFdtd产生的边叶更高，但边叶的匹配度基本一致。
图 9：图中显示的是 XFdtd 对 8x8 镜头光束 1 生成的所有结果的比较。侧壁曲率从 0.25 到 2.5，步长为 0.25。随着侧壁的变化，主光束的位置和形状也会发生变化。侧裂片也会发生变化，某些情况下会返回相当高的数值。
对于端口 4 接近中心的横梁，结果略有不同。图 10、图 11 和图 12 显示了曲率分别为 0.25、1.25 和 2.50 的三种情况。图 10、图 11 和图 12 显示了曲率分别为 0.25、1.25 和 2.50 的三种情况，其中前两种情况下的侧摆度较高，图 12 显示曲率为 2.50 的情况下的侧摆度相当吻合。图 13 显示了所有端口 4 有效情况下的光束模式，主光束通常总是很好地形成，但侧裂片会出现一些变化。曲率大于 1.00 的配置均与 RLD 值高度相关。这是意料之中的，因为中心端口将大部分能量导向阵列，而偏置端口则将更多能量导向侧壁。
图 10：侧壁曲率为 0.25 的 8x8 镜头的光束 4 比较
图 11：侧壁曲率为 1.25 的 8x8 镜头的光束 4 比较
图 12：侧壁曲率为 2.50 的 8x8 镜头的光束 4 比较
图 13：8x8 镜头光束 4 的所有 XFdtd 结果汇总。主光束的位置和形状基本一致，侧叶水平略有不同
图 14 显示了两根横梁所有情况下的峰值侧叶水平。一般来说，无论侧壁曲率如何，横梁 4 的侧叶水平都较低，而横梁 1 的侧叶水平受侧壁变化的影响较大。在图 15 中，主梁位置的变化被绘制为 XFdtd 位置与理想 RLD 位置的差异。同样，中心波束 4 受侧壁形状的影响较小，结果相当不错，而波束 1 则随曲率变化而变化。
图 14：XFdtd 模拟的峰值侧叶水平与 RLD 软件生成的理想值的对比图。XFdtd 的结果随侧壁曲率的变化而变化，在曲率值为 2.00 时侧叶最小。
图 15：XFdtd 和 RLD 之间主梁位置偏移与侧壁曲率的函数关系图。在侧壁曲率较低时，误差要大得多，随着曲率的增加，误差趋于零。
图 16 所示的16x16 镜头重复了对8x8 镜头进行的模拟。在这种情况下，对来自端口 1、4 和 8 的光束进行比较，它们应分别产生 40 度、24 度和 3 度的光束。由于该透镜较大，侧面有更多的空间用于曲率，因此需要增加更多的虚端口。这使得边缘的过渡比 8x8 的情况更平滑。
图 16：所示为软件模拟的 16x16 端口罗特曼微带透镜
图 17 显示了侧壁曲率为 0.25 时光束 1 的光束图案。从图中可以明显看出，XFdtd 和 RLD 之间的光束位置存在偏移，这比 8x8 情况下的偏移更为明显。在图 18 和 19 中，当侧壁曲率增加到 1.25 和 2.5 时，波束位置的变化有所减小，但代价是侧叶增加。图 20 显示了不同侧壁曲率下的所有 XFdtd 结果。从图中可以看出，侧壁曲率值越高，主波束的偏移越明显。虽然不同情况下的侧叶水平各不相同，但都保持在 10 dB 以下。
图 17：XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 0.25 时的光束 1 图案对比。
图 18：图示为 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 1.25 时的光束 1 图案对比。
图 19：XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 2.5 时的光束 1 图案对比。
图 20：所示为 XFdtd 在不同侧壁值下为光束 1 生成的所有图案
对于应在 24 度左右出现的横梁 4，结果显示侧壁曲率的变化较小。在图 21 中，低曲率侧壁出现了一些明显的侧叶，但在图 22 和 23 中显示的 1.25 和 2.5 情况下，侧叶水平较低，与理想 RLD 情况基本吻合。图 24 显示了所有侧壁情况的汇总，主梁位置与侧壁曲率的变化同样很小。
图 21：XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 0.25 时的光束 4 图案对比。
图 22：图示为 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 1.25 时的光束 4 图案对比。
图 23：XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 2.5 时的光束 4 图案对比。
图 24：所示为 XFdtd 软件为横梁 4 生成的所有图案与侧壁曲率的函数关系
对于图 25、26 和 27 所示的所有侧壁曲率情况，XFdtd 都能很好地再现来自端口 8 的近中心波束。在曲率为 0.25 的情况下，会产生一些较高的侧叶，而在其他情况下则不会出现。在图 28 中对所有情况进行比较时，主梁位置与高角度侧叶存在一些差异，但两者的一致性很好。图 29 汇总了最大边波电平，同样总是低于峰值 10 dB。图 30 所示的主波束偏移在波束 1 中更为明显，而波束 4 和波束 8 的偏移则随曲率变化很小。
图 25：图中显示了 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 0.25 时的光束 8 图案对比。
图 26：图中显示的是 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 1.25 时的光束 8 图样对比。
图 27：图中显示了 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 2.5 时的光束 8 图案对比。
图 28：图中显示的是 XFdtd 软件为横梁 8 生成的所有图案与侧壁曲率的函数关系
图 29：XFdtd 模拟的峰值侧叶电平与 RLD 软件生成的理想值的对比图。与 8x8 镜头情况相比，变化较小
图 30：XFdtd 和 RLD 之间的主光束位置偏移与 16x16 镜头侧壁曲率的函数关系图。在侧壁曲率较低时，误差略大，主要是光束 1 的误差，曲率越大，误差越小。
最后，我们对 32x32 的透镜进行了相同的测试。透镜的几何形状如图 31 所示，由于尺寸更大，假端口数量更多（所有情况下都保持恒定宽度），因此侧壁曲率的清晰度更高。在这组模拟中，将对光束 1、4、8、12 和 16 进行比较，它们产生的光束理想角度分别为 40、32、22、11.5 和 1 度。
图 31：所示为软件模拟的 32x32 端口罗特曼微带透镜
图 32、33 和 34 显示了侧壁曲率为 0.25、1.25 和 2.5 时端口 1 的最大扫描光束。主波束位置有明显的偏移，曲率越大，偏移越小；但始终无法与理想情况完全吻合。边波电平保持在 -10 dB 以下，但靠近主波束的边波电平相当高。在图 35 所示的所有情况汇总中，可以明显看出主波束位置有轻微偏移，但不同情况下的边叶相当一致。
图 32：图中显示的是 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 0.25 时的光束 1 图案对比。
图 33：图中显示的是 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 1.25 时的光束 1 图案对比。
图 34：所示为 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 2.5 时的光束 1 图样对比。
图 35：图中显示了 XFdtd 在不同侧壁值下为光束 1 生成的所有图案
图 36、37 和 38 显示了光束 4。与理想情况相比，光束位置再次出现轻微偏移，但 XFdtd 结果之间的差异很小。这一点在图 39 中得到了验证，图 39 显示了所有情况，产生的波束似乎是一致的。不同情况下的侧叶水平也相当一致，只有曲率较低的墙壁有一些偏离值。
图 36：图中显示的是 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 0.25 时的光束 4 图样对比。
图 37：图中显示的是 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 1.25 时的光束 4 图样对比。
图 38：图中显示的是 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 2.5 时的光束 4 图案对比。
图 39：所示为 XFdtd 在不同侧壁值下为横梁 4 生成的所有图案
图 40、图 41、图 42 和图 43 所示的横梁 8 也有类似情况。主梁位置仍有轻微偏移，但总体而言，在 XFdtd 中运行的各种情况产生的结果相似。相比之下，随着侧壁曲率的增加，横梁 12 的性能有了明显改善。主梁位置保持一致，但图 44 和图 45 中可见的较高侧边在图 46 中大大减小。在图 47 中，许多情况下，主梁区域和 +/-25 度范围内的表现一致，但超出该范围后，产生的侧叶变化很大。同样，侧叶仍然低于峰值 10 dB。
图 40：图中显示的是 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 0.25 时的光束 8 图案对比。
图 41：图 41：XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 1.25 时的光束 8 图案对比。
图 42：图 42：XFdtd 和 RLD 对侧壁曲率为 2.5 的光束 8 图案进行比较。
图 43：所示为 XFdtd 在不同侧壁值下为横梁 8 生成的所有图案
图 44：图 44：XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 0.25 时的光束 12 图案对比。
图 45：所示为 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 1.25 时的光束 12 图样对比。
图 46：图中显示了 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 2.5 时的光束 12 图样对比。
图 47：图中显示的是 XFdtd 在不同侧壁值下为横梁 12 生成的所有图案
光束 16 的最终情况与光束 12 相似，低曲率壁（图 48 和 49）有一些较大的侧叶，而图 50 的高曲率壁与理想情况的一致性更好。图 51 所示的所有情况也与光束 12 相似，光束图案的中心区域是一致的，可变性出现在远扫描角度。
图 48：图 48：XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 0.25 时的光束 16 图案对比
图 49：图 49：XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 1.25 时的光束 16 图案对比。
图 50：图示为 XFdtd 和 RLD 在侧壁曲率为 2.5 时的光束 16 图案对比。
图 51：所示为 XFdtd 在不同侧壁值下为光束 12 生成的所有图案
图 52 显示了所有模拟光束的峰值侧叶水平。与之前的透镜一样，扫描角度越大的光束产生的侧叶也越大。虽然侧叶峰值随侧壁曲率的变化不大，但每个光束的侧叶峰值都相当一致。最后，从图 53 中可以看出，主光束偏离理想 RLD 的情况与侧壁曲率的关系不大。每个横梁的结果都有一个固定误差，似乎与侧壁无关。我们将在其他示例中对此进行进一步研究。
图 52：图中显示的是 XFdtd 为每种情况生成的峰值侧叶电平。为清晰起见，省略了 RLD 值。峰值水平随侧壁曲率的变化很小，表明侧壁对这种较大透镜的影响较小。
图 53：XFdtd 生成的光束偏移量与 RLD 光束偏移量的对比图。在每种情况下，似乎都有一个固定的偏移量，不受侧壁曲率的影响
结论
在这个例子中，我们模拟了几个具有不同侧壁曲率的罗特曼透镜，以衡量曲率对全波求解器生成的光束图案结果的影响，并与 RLD 软件生成的理想光束进行比较。对于较小的透镜，结果显然会有一些变化，这与侧壁曲率密切相关。随着透镜变大，光束与侧壁的关系变得相当独立。当然，每种情况下产生的侧叶都有差异；一般来说，侧叶的水平总是相对较低。当然，在侧叶水平必须较低的情况下，可以选择适当的透镜设计。
该示例侧重于透镜产生的光束图案与侧壁曲率的函数关系，并未考虑设计或输出中的其他影响。结果发现，对于较小的透镜来说，2 左右的曲率是最好的，而对于较大的透镜来说，任何侧壁值都有类似的表现。
参考资料
-
Rotman, W. and R. Turner, "Wide-Angle Microwave Lens for Line Source Applications,"IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 11, no. 6, pp.
-
Hansen, R. C., "Design Trades for Rotman Lenses,"IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 39, no.4, pp.
