不确定性量化在电磁仿真中的重要性

作者：阿普尔瓦·佩德加翁卡尔和格雷戈里·莫斯，Remcom

大多数电磁（EM）仿真都遵循一种常见的模式：工程师将一组固定的材料属性、几何形状和源条件输入到仿真工具中，从而获得一个单一的、确定性的结果。然而，基于单次确定性仿真所做出的设计决策、合规性判定和/或制造公差，都隐含着这样一个假设，即实际性能将与模型结果一致，但事实往往并非如此。

不确定性量化（UQ）通过数学方法估算和衡量计算模型及实际预测的可靠性，将一个确定性值转化为具有相应置信度水平的现实结果范围。 通过这种方式，不确定性量化为基于风险的决策提供了至关重要的深度信息，使其成为一种日益有价值的工具，能够提供多种途径来提高电磁仿真（EM）的速度、精度和实际预测准确性。然而，商业电磁仿真软件工具中很少提供不确定性量化功能。

该图展示了通过组合多个确定性场计算得出的叠加场分布。头部内的模糊区域突显了内部材料的不确定性如何导致场路径产生模糊并影响整体场路径。

为什么需要UQ以及它是如何运作的

不确定性量化（UQ）的第一步是确定该场景是否需要进行不确定性量化。典型的电磁仿真在以下任何情况下都可能派上用场：需要一个单一的标称值结果来做出“通过/不通过”或“可行/不可行”的决策；证明设计裕度的合理性；量化合规性或风险；或者确定制造公差。然而，在这些情况下，了解标称结果周围的潜在偏差往往比标称结果本身更为关键。 此外，在仿真之前，关于材料或组件的数据越充分，用户对仿真结果的信任度就越高。

UQ 的主要优势在于能更深入地了解所设计产品的各种使用场景。对于任何电磁仿真问题，结果若能给出“答案是 A，±一定偏差 B”，其信息量总是比“答案是 A”更为丰富。这些额外的数据和背景信息可以避免工程师因测试结果出乎意料而不得不制作额外的物理原型，从而通过提供更可靠的初始数据来优化设计流程。

一种常见的误解认为，不确定度（UQ）仅与材料有关，因为材料性质的微小变化会影响电磁仿真结果（材料不确定度）。然而，还有其他类型的不确定度也会影响电磁仿真。其中一种是几何不确定度，即仿真对象的形状和尺寸会导致电磁仿真结果出现波动。 另一种是元件级不确定性，具体见不同电路元件（如电阻、电容和电感等）的相应数据手册。这些不确定性通常被称为制造公差。应重点关注哪种不确定性，完全取决于具体应用场景。

图1展示了一个材料不确定性的示例，该图利用Remcom公司的3D电磁仿真软件XFdtd®，模拟了由位于耳朵旁侧的2 GHz偶极天线激发的SAM头部模型。图1展示了针对该SAM头部模型的三次确定性电磁仿真，其中，当扰动介电常数和电导率时，内部电场分布会发生可观测的偏移。 图2展示了SAM头部XFdtd电场网格，天线位于其旁边。

图1：基于电磁确定性模拟所得的电场分布图，该模拟对象为暴露于2 GHz偶极天线下的三维扫描声学显微镜（SAM）头部模型，其材料属性存在变化：(a) 基准组织等效属性（头部内层^εr= 44.3，头部内层 σ = 1.58 (S/m)，头部外层^εr= 2.89）； (b) 修改后的组织等效参数（头部内层^εr= 39.7，头部内层 σ = 1.43 (S/m)，头部外层^εr= 2.64）；以及 (c) 另一种修改后的组织等效特性（头部内层^εr= 36.1，头部内层 σ=1.30 ( S/m)，头部外层^εr=2.43）。所有仿真均采用相同的输入功率和相同的天线定位。

图2：3D SAM头部phantom的ZY方向二维网格切片，显示了该phantom的两层结构。外层为无损介电材料，内层为有损介电材料。

可用的UQ技术

目前已建立多种方法将不确定性纳入电磁仿真。不确定性量化（UQ）技术主要分为两类：侵入式方法和非侵入式方法。 非侵入式方法完全不改变原始的计算模型，而是通过使用不同采样输入参数多次运行该模型来映射输出。例如，蒙特卡洛分析将固定值的输入转换为概率分布（如正态分布、均匀分布、对数正态分布），就被视为一种非侵入式方法。 所有变体均单独运行，随后将结果合并。由于蒙特卡洛模拟的次数可能从几次到数千次不等，执行时间会随着模拟次数的增加而延长。对于较大规模的问题，包括研究信号对人体的影响、模拟复杂电路或分析易发生周期性变化的电路，这通常并非可行的解决方案。

更专业的侵入式方法通过修改底层计算算法，将不确定性表述直接嵌入到控制方程中。这些方法旨在更高效地提供类似的统计见解。其中包括多项式混沌展开（PCE）和随机有限差分时域法（S-FDTD）。PCE将复杂的计算模型近似为一系列正交多项式，从而有效地将随机问题转化为确定性问题。 与此同时，S-FDTD 用于计算电磁波与具有随机或不确定性特性的材料（例如导电率或介电常数随时间变化的材料，或几何形状发生变化的材料）相互作用时的行为。它能在单次仿真中计算出电磁场的均值和方差。

侵入式PCE和S-FDTD都是单次仿真，而蒙特卡洛方法则需要进行多次仿真。但PCE和S-FDTD的计算复杂度较高，这限制了大多数工程师对其的应用。目前，要将这些方法整合到日常工程工作流程中，仍需借助专门的统计工具或投入研究级别的精力，但研究人员正在迅速推进相关工作，力求使每种方法都更加高效、实用，从而能够无缝融入常规工程工作流程。

实际应用案例

UQ 通常首先收集可用的设计统计数据，并运行基于蒙特卡洛方法的仿真，将置信度最低的材料属性随机化，然后分析所得的均值和标准差。实际上，为了获得可靠的统计结果，可能需要进行数百次甚至数千次仿真运行，但对于小型模型而言，这仍是一项可行的、过夜即可完成的任务。

进行可控的蒙特卡洛模拟，是工程师获得第一手经验、学会解读和理解结果分布（而非单一数值）的有效途径。然而，由于蒙特卡洛方法不适用于大规模问题，因此它不应作为默认的第一步，而应仅在特定情境确实需要时，才作为合适的起点。

这种方法的一个实际案例是对一种用于模拟人体组织特性的材料的分析，而人体组织特性会因组织类型和个体差异而有所不同。 此类分析的结果可用于设计公差，以确定手机或支持蓝牙功能的手表的辐射天线所发射的功率中，人体组织可安全吸收的量，这一指标被称为比吸收率（SAR）。如果该比吸收率存在变化，现行的信号辐射标准可能无法在所有情况下都成立，因此必须在设备设计中将这种变异性考虑在内。

将材料不确定度应用于图1所示的仿真，即可对SAR不确定度进行量化。由于尚不清楚SAM头部内部材料的变异程度，因此本例中采用了IEC/IEEE 62209-1528标准中的不确定度校正方法。 据此，SAM头部模型材料性能的±10%偏差，可能会导致平均1g（SAR）值发生高达2%的变化。

图3：平均SAR 1g的结果。（左）展示了因材料差异导致的平均SAR的二维切片。（右）展示了因材料差异导致的SAR标准差的二维切片。（请注意，两者的色标刻度不同。）

平均图像（上图图3）的最大平均值为0.0396 W/kg，偏差图像的最大偏差值为8.4e-4 W/kg。这对应于0.0396 ± 8.4e-4 (W/kg) 的平均1g SAR值。 这也可以表示为平均每克SAR值的变化约为1.9%。这一数值非常接近IEC/IEEE 62209-1528标准中描述的不确定度校正值。

UQ 作为日常工具

历史上，不确定性量化（UQ）一直依赖于学术代码或自定义脚本，而这些代码或脚本的设置需要专业的统计学知识。这种方法对于研究论文来说尚可，但这意味着大多数从业工程师即使遇到适合应用UQ的问题，也缺乏应用UQ的机会。

蒙特卡洛分析可通过 XFdtd 进行，这将原本独立的研究工作转化为工程师现有工作流程中的常规步骤。实际上，工程师可以像往常一样校准模型，从几何形状、材料、源项和边界条件开始；不确定性量化（UQ）本质上只是工作流程的补充，而非一种不同的建模环境。 工程师无需学习新的建模范式；他们只需在属性标称值处添加该属性随时间变化的描述，并按照工作流程操作即可。简而言之，最大的转变在于思维方式，而非技术层面：用户必须建立起对“均值与偏差”结果的解读信心，而非仅依赖单一数值。

此外，Remcom 正在努力将更先进的计算方法应用到 XFdtd 中，以便更好地模拟和求解更大、更复杂的问题。未来的升级将使设计工程师能够使用不同的不确定性量化（UQ）方法，并根据问题的规模和性质选择最合适的一种。 材料属性不确定性是这项工作的起点，但同时也计划支持几何和电路元件的不确定性。此外，XFdtd 支持XStream® GPU 加速技术，可实现超快的 FDTD 计算。借助最新一代 GPU，XStream 使 XFdtd 计算能在数分钟内完成，而仅使用 CPU 时则需要数小时甚至数天。用于不确定性量化 (UQ) 的先进计算方法将与当前的 GPU 执行无缝集成。

结论

总而言之，工程师需要借助软件来确保设计在实际使用条件下能够经受住考验。增强仿真功能不仅能加快迭代速度、减少对昂贵物理原型的依赖，还能使进入集成阶段的初始设计更加完善，而Remcom正处于构建这一能力的前沿。 

关于作者

阿普尔瓦·佩德加翁卡尔（Apoorva Pedgaonkar）是Remcom公司的电磁研究工程师，隶属于XFdtd研究团队。她拥有犹他大学电气工程（计算电磁学）博士学位，在该校期间的研究重点是FDTD中的不确定性分析，以及通过磁化电离层的输电线路辐射的FDTD建模。 她的行业经验涵盖多个领域，包括不确定性量化、信号与电源完整性，以及磁共振成像（MRI）技术的系统工程。

格雷戈里·莫斯（Gregory Moss）是 Remcom 公司的 XFdtd 研究经理，在计算电磁学（CEM）行业拥有超过 20 年的经验。 他对全波CEM市场的过去与现状有着全面的了解，包括基于有限差分时域法（FDTD）、有限积分法（FIT）、不连续加勒金时域法（DGTD）、有限元法（FEM）和矩量法（MoM）等技术的现有商业和开源软件包的优缺点。 此外，他在开发用于电路、静电、动力学粒子及等离子体仿真的计算求解器方面也拥有丰富的经验。

关于 Remcom

30 多年来，Remcom 一直为商业机构、政府部门和研究机构提供电磁仿真和无线传播软件。我们创新的软件和工程专业知识有助于设计团队缩短开发周期、提升产品性能，并解决包括天线设计、无线通信、汽车雷达、航空航天和国防在内的各类应用中遇到的复杂电磁挑战。灵活的许可方案、响应迅速的技术支持以及量身定制的工程解决方案，使各种规模的组织都能充满信心地加速产品开发进程。

资源

• 三维生物仿体的电磁不确定度分析 | IEEE会议论文集 | IEEE Xplore。
• 一种基于高效FDTD离散平面波源的随机散射场FDTD公式化方法，适用于弱散射环境 | IEEE期刊与杂志 | IEEE Xplore。
• S. M. Smith 和 C. Furse， “用于分析电磁场统计变化的随机FDTD”，载于《IEEE 天线与传播汇刊》，第 60 卷，第 7 期，第 3343-3350 页，2012 年 7 月， doi: 10.1109/TAP.2012.2196962。
• K. Masumnia-Bisheh, K. Forooraghi、M. Ghaffari-Miab 和 C. M. Furse，"用于生物组织中电磁场和SAR不确定性量化的几何随机FDTD方法"，载于《IEEE天线与传播汇刊》，第67卷，第12期，第7466-7475页，2019年12月， doi: 10.1109/TAP.2019.2930171。
• 基于多项式混沌展开的变磁化等离子体中电磁波传播分析。